Phép thế Ravi trong chứng minh bất đẳng thức tam giác

Xét tam giác ABC với độ dài các cạnh là a, b, c và đường tròn nội tiếp tam giác. Tâm đương tròn nội tiếp, các đỉnh và ba tiếp điểm tạo thành ba cặp tam giác bằng nhau.
        
Do đó tồn tại các số dương x, y, z sao cho a=x+y, b=y+z, c=z+x. Phép thế trên được gọi là phép thế Ravi. Phép thế Ravi rất hữu dụng khi thiết lập các bất đẳng thức liên quan đến độ dài ba cạnh tam giác. Lúc này ta không quan tâm đến các bất đẳng thức giữa các cạnh tam giác. Thật ra phép thế này đã được sử dụng từ trước khi Ravi, một nhà toán học Canada, ra đời.

Với phép thế trên ta có a+b-c=2y, a+c-b=2x, b+c-a=2z và p-a=z, p-b=x, p-c=y trong đó p là nửa chu vi.

Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Bất đẳng thức Padoa:
Cho a, b và c là các cạnh của một tam giác

Dùng phép thế Ravi, Bất đẳng thức Padoa tương đương với

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si các cặp số: (x,y), (y,z), (z,x) ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2:
Chứng minh:

Dùng phép thế Ravi bất đẳng thức đã cho tương đương với 1/x+1/y+1/z ≥ 9/(x+y+z). Phần còn lại dành cho bạn đọc.

Một số bài tập có thể áp dụng Bất đẳng thức này.
Cho tam giác ABC. Chứng minh: